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标准差及tdoa定位Chan算法

标准差(Standard Deviation),在概率统计中最常使用作为统计分布程度(statistical dispersion)上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。


标准差(Standard Deviation) ,中文环境中又常称均方差,但不同于均方误差(mean squared error,均方误差是各数据偏离真实值的距离平方的平均数,也即误差平方和的平均数,计算公式形式上接近方差,它的开方叫均方根误差,均方根误差才和标准差形式上接近),标准差是离均差平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。


例如,两组数的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是 7 ,但第二个集合具有较小的标准差。

所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数(或个数减一,即变异数),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差。

标准差计算公式:
假设有一组数值X1,X2,X3,......XN(皆为实数),其平均值为μ。
标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式为
标准差公式:σ=sqrt((X1-μ)^2+(X2-μ)^2+(X3-μ)^2+...+(XN-μ)^2)/N)
方差公式:s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/(n) (x为平均数)
标准差=方差的算术平方根
简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。

Chan算法描述

Chan

算法是一种求解双曲线方程组的非递归算法。该算法采用两步最大似然估计[4]。该算法的特点是计算量小,在噪声服从高斯分布的环境下,定位精度高,但在非视距环境下[5],Chan算法[6]的定位精度显著下降。在无线电定位中,一旦取得TDOA测量值,就可以得到MS到两个BS之间的距离差,多个TDOA测量值就可以构成一组关于MS位置的双曲线方程组,求解该双曲线方程组就可得到MS的
估计位置。设(x,y)为MS的待估计位置,(xi,yi)为第t个基站发射机的已知位置,则MS和第t个BS发射机之间的距离为:

Ri=sqrt((xi-x)^2-(yi-y)^2)

Ri^2=(xi-x)^2-(yi-y)^2=Ki-2xix-2xiy+x^2+y^2   (1)

其中Ki = xi^2+yi^2

Ri1为MS与第i个台站和第一个台站的距离差,则:

R1=sqrt((xi-x)^2-(yi-y1)^2) - sqrt((x1-x)^2-(y1-y1)^2)   (2)

由式(2)整理得到:

Ri1^2+2Ri1*R1+R1^2=Ki-2Xix-2Yiy+x^2+y^2              (3)

在i=1时,或(3)为
R1^2 = Ki-2Xix-2Yiy+x^2+y^2                   (4)

从式(3)减去式(4)结果为:

Ri1^2 +2Ri1*R1 = Ki-2Xix-2Yiy+K1              (5)

先假设R1为已知,则MS位置(x,y)可由式(5)按以下形式解出:


得到方程
Ri1^2 +2*Ri1*R1 = Ki-2Xi1*x-2Yi1*y+K1

i=1
0 = K1-K1
i=2
R21^2 + 2*R21*R1 = K2-2X21*x-2Y21*y+K1
R31^2 + 2*R31*R1 = K2-2*X31*x-2*Y31*y+K1
解出x,y的值
R21^2 + 2*R21*R1-K1-K2 = -2*X21*x-2*Y21*y
R31^2 + 2*R31*R1-K1-K2 = -2*X31*x-2*Y31*y

消元法

(R21^2 + 2*R21*R1-K1-K2)*X31 = (-2*X21*x-2*Y21*y)*X31
(R31^2 + 2*R31*R1-K1-K2)*X21 = (-2*X31*x-2*Y31*y)*X21
(R21^2 + 2*R21*R1-K1-K2)*X31 - (R31^2 + 2*R31*R1-K1-K2)*X21 = 2*X21*Y31*y - 2*X31*Y21*y



通常的矩阵加法被定义在两个相同大小的矩阵。两个m×n矩阵A和B的和,标记为A+B,一样是个m×n矩阵,其内的各元素为其相对应元素相加后的值。

常数与矩阵相乘等于该常数乘以矩阵内的各项,结果仍是个矩阵。

矩阵负一次方表示求逆矩阵
P为
1 1
1 -5
P的行列式即|P|=1×(-5)-1×1=-6,不等于0,所以P可逆,其逆矩阵为:
P=1/|P|×P*,其中P*为P的伴随矩阵,等于
5 1
1 -1
代入计算即得P的逆矩阵,即你所说的P的-1次方

伴随矩阵的求法:
定义:A关于第i 行第j 列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
    
定义:A关于第i 行第j 列的代数余子式是: 。
     定义:A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C,使得其第i 行第j 列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
     引入以上的概念后,可以定义:矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵。
     也就是说, A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵(记作adj(A)),使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j 行第i 列的代数余子式

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